Question

14．在△ABC中，角A、B、C与边a，b，c满足asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a．
（1）求$\frac{b}{a}$的值；
（2）若c=2，且△ABC面积为2$\sqrt{2}$，求边长a．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式中边转换为角的正弦，化简整理即可求得答案．
（2）利用三角形的面积公式，求出sinB，再求出cosA，再根据余弦定理，得到关于a的方程，解得即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∵asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，
∴sin²AsinB+sinBcos²A=$\sqrt{2}$sinA，
∴sinB=$\sqrt{2}$sinA，
∴b=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$
（2）∵c=2，且△ABC面积为2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=2$\sqrt{2}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{a}$，
∴sinA=$\frac{2}{a}$，
∴cosA=$\sqrt{1-\frac{4}{{a}^{2}}}$，
由余弦定理有a²=c²+b²-2bccosA=4+2a²-4$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-4}$
∴4$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-4}$=a²+4，
∴（a²-12）²=0，
∴a²=12，
∴a=2$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了正弦定理余弦定理三角形的面积的应用，以及方程的解法，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．