设{an}是公比为q的无穷等比数列.若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项.则称{an}为“封闭等比数列．给出以下命题:(1)a1=3.q=2.则{an}是“封闭等比数列 ,(2)a1=$\frac{1}{2}$.q=2.则{an}是“封闭等比数列 ,(3)若{an}.{bn}都是“封闭等比数列 .则{an•bn}.{an+bn}也都是“封闭等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．设{a_n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a_n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a_n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：
（1）a₁=3，q=2，则{a_n}是“封闭等比数列”；
（2）a₁=$\frac{1}{2}$，q=2，则{a_n}是“封闭等比数列”；
（3）若{a_n}，{b_n}都是“封闭等比数列”，则{a_n•b_n}，{a_n+b_n}也都是“封闭等比数列”；
（4）不存在{a_n}，使{a_n}和{a_n²}都是“封闭等比数列”；
以上正确的命题的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析（1）求出${a_n}=3•{2^{n-1}}$，由a₁•a₂∉{a_n}，知（1）错误；（2）由${a_n}=\frac{1}{2}•{2^{n-1}}={2^{n-2}}$，推导出命题（2）正确；（3）${a_n}+{b_n}=3•{2^{n-1}}$不是“封闭等比数列”；（4）若${a_n}={2^n}$为“封闭等比数列”，则$a_n^2={4^n}$为“封闭等比数列”．

解答解：（1）∵{a_n}是a₁=3，q=2的等比数列，
∴${a_n}=3•{2^{n-1}}$，
由题意得a₁•a₂=3×6=18∉{a_n}，故命题（1）错误；
（2）∵${a_n}=\frac{1}{2}•{2^{n-1}}={2^{n-2}}$，
∴${a_m}•{a_n}={2^{m-2}}•{2^{n-2}}={2^{m+n-4}}={2^{（{m+n-2}）-2}}={a_{m+n-2}}，m+n-2∈{N^*}$，故命题（2）正确；
（3）若${a_n}={2^{n-1}}，{b_n}={2^n}$都为“封闭等比数列”，
则${a_n}+{b_n}=3•{2^{n-1}}$不是“封闭等比数列”，故命题（3）错误；
（4）若${a_n}={2^n}$为“封闭等比数列”，则$a_n^2={4^n}$为“封闭等比数列”，故命题（4）错误．
故选：B．

点评本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列、封闭等比数列的性质的合理运用．

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