Question

12．已知函数y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$的最大值为M，最小值为m，则$\frac{m}{M}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 化简（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$）²=4+2$\sqrt{（1-x）（x+3）}$，从而求得4≤（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$）²≤8，从而求最值．

解答 解：函数y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$的定义域为[-3，1]；
∵（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$）²=1-x+x+3+2$\sqrt{（1-x）（x+3）}$
=4+2$\sqrt{（1-x）（x+3）}$，
而（1-x）（x+3）=-（x+1）²+4，
故0≤-（x+1）²+4≤4，
故0≤$\sqrt{（1-x）（x+3）}$≤2，
故4≤（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$）²≤8，
故2≤$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$≤2$\sqrt{2}$，
故$\frac{m}{M}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了函数的最值的求法，同时考查了平方法的应用．