Question

2．设f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+{2}^{n}}$，则f（k+1）-f（k）=$\frac{1}{k+1{+2}^{k}}$+$\frac{1}{k+2{+2}^{k}}$+…+$\frac{1}{k+1{+2}^{k+1}}$-$\frac{1}{k+1}$．

Answer 1

分析 根据f（k）中的分母是从k+1到k+2^k，f（k+1）中的分母是从k+2到k+1+2^k+1，分析相同项与不同项，由此得出答案．

解答 解：∵f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+{2}^{n}}$，
∴f（k）=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{k{+2}^{k}}$，
f（k+1）=$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{k+1{+2}^{k+1}}$，
∴f（k+1）-f（k）=$\frac{1}{k+1{+2}^{k}}$+$\frac{1}{k+2{+2}^{k}}$+…+$\frac{1}{k+1{+2}^{k+1}}$-$\frac{1}{k+1}$．
故答案为：$\frac{1}{k+1{+2}^{k}}$+$\frac{1}{k+2{+2}^{k}}$+…+$\frac{1}{k+1{+2}^{k+1}}$-$\frac{1}{k+1}$．

点评 本题主要考查了归纳思想的应用问题，也考查了分析问题解决问题的能力，解题时应注意项数的变化．