Question

11．已知点M是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的准线与x轴的交点，点P是抛物线C₁上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C₂，（x一1）²+y²=1，且|MC₂|=3|OM|为坐标原点．
（I）求抛物线C₁的标准方程；
（Ⅱ）求△APB面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出M（-$\frac{1}{2}$，0），可得$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，即可求抛物线C₁的标准方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），A（0，b），B（0，c），求得直线PA的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得b，c的关系，求得△PAB的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：（I）由题意，C₂（1，0），
∵|MC₂|=3|OM|，
∴M（-$\frac{1}{2}$，0），
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴p=1，
∴抛物线C₁的标准方程是y²=2x；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），A（0，b），B（0，c），
直线PA的方程为：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
又圆心（1，0）到PA的距离为1，
即$\frac{|{y}_{0}-b+{x}_{0}b|}{\sqrt{（{y}_{0}-b）^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=1，整理得：（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得：（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
所以，可知b，c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的两根，
所以b+c=$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，bc=$\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
依题意bc＜0，即x₀＞2，
则（c-b）²=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-8{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$，
因为y₀²=2x₀，所以：|b-c|=|$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$|
所以S=$\frac{1}{2}$|b-c|•|x₀|=（x₀-2）+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥8
当x₀=4时上式取得等号，
所以△PAB面积最小值为8．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．