Question

1．在直角坐标系xOy中，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），其中0≤θ≤π，椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），其中0≤φ＜2π，直线l与y轴的正半轴交于点M，与椭圆C交于A，B两点，其中点A在第一象限．
（1）写出椭圆C的普通方程及点M对应的参数t_M（用θ表示）；
（2）设椭圆C的左焦点F₁，若|F₁B|=|AM|，求直线l的倾斜角θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的关系消参数即可得出椭圆C的普通方程，令-$\sqrt{2}$+tcosθ=0，即可得出t_M；
（2）把直线参数方程代入椭圆方程，设点A、B对应的参数为t_A、t_B，由|F₁B|=|AM|结合参数t的几何意义得：t_A+t_B=t_M，求解即可．

解答 解：（1）椭圆C的普通方程是：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
令-$\sqrt{2}$+tcosθ=0，得t=$\frac{\sqrt{2}}{cosθ}$，∴点M对应的参数t_M=$\frac{\sqrt{2}}{cosθ}$．
（2）椭圆的左焦点为F₁（-$\sqrt{2}$，0）．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，得（3sin²θ+cos²θ）t²-2$\sqrt{2}$cosθ•t-1=0，
设A，B对于的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\frac{2\sqrt{2}cosθ}{3si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$，
∵|F₁B|=|AM|，∴t₁+t₂=|F₁M|=t_M，
即$\frac{2\sqrt{2}cosθ}{3si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{2}}{cosθ}$，解得sinθ=$\frac{1}{2}$，
∵M位于y轴的正半轴，∴θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力．