Question

4．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥-3}\\{y≤2}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$，则$\frac{2y-2}{x-4}$的最大值$\frac{10}{7}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图
$\frac{2y-2}{x-4}$=2•$\frac{y-1}{x-4}$，
设k=$\frac{y-1}{x-4}$，则k的几何意义是区域内的点到D（4，1）的斜率，
由图象知CD的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-4}\end{array}\right.$，即C（-3，-4），
则k=$\frac{-4-1}{-3-4}$=$\frac{5}{7}$，
则$\frac{2y-2}{x-4}$的最大值为2×$\frac{5}{7}$=$\frac{10}{7}$，
故答案为：$\frac{10}{7}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据直线斜率的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．