Question

19．若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+3{x}^{2}-x-3＞0}\\{{x}^{2}-2ax-1≤0}\end{array}\right.$（a＞0）的整数解有且仅有一个，则a的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]
• B． [$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）
• C． （$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）
• D． （$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 分别求出不等式的解，再根据整数解有且仅有一个，得到2≤a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$＜3，解得即可．

解答 解：由x³+3x²-x-3=x（x²-1）+3（x²-1）=（x²-1）（x+3）=（x+3）（x+1）（x-1）＞0，解得-3＜x＜-1或x＞1
由x²-2ax-1≤0，即（x-a）²≤1+a²，解得a-$\sqrt{1+{a}^{2}}$≤x≤a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$，
∴-1＜a-$\sqrt{1+{a}^{2}}$＜0，a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$＞1
∵整数解有且仅有一个，
∴x=2，
∴2≤a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$＜3，
解得$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{4}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了不等式的解法以及参数的取值范围，考查学生分析问题，解决问题的能力，属于中档题．