Question

10．已知正项等差数列{a_n}满足：S_n²=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：b_n=$\frac{{2+{a_n}}}{{{2^{2+{a_n}}}{S_n}}}$，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系，令n=1，2，解出a₁，a₂，可得公差d，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（  I ）∵${S_n}^2={a_1}^3+{a_2}^3+{a_3}^3+…+{a_n}^3$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{S_1}^2={a_1}^3}\\{{S_2}^2={a_1}^3+{a_2}^3}\end{array}}\right.$，
∵{a_n}为正项等差数列，解之得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{{a_2}=2}\end{array}}\right.$，
则d=1，所以a_n=1+（n-1）1=n；
（ II）${b_n}=\frac{{2+{a_n}}}{{{2^{2+{a_n}}}{S_n}}}=\frac{2+n}{{{2^{2+n}}\frac{n（n+1）}{2}}}=\frac{2+n}{{{2^{n+1}}n（n+1）}}=\frac{1}{{{2^n}n}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}（n+1）}}$${T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{24}+\frac{1}{24}-\frac{1}{32}+…+\frac{1}{{{2^n}n}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}（n+1）}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{n+1}}（n+1）}}$
即${T_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{n+1}}（n+1）}}$

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．