Question

20．若x，y满足x²-2xy+3y²=4，则$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值与最小值的和是1．

Answer 1

分析 设x=rcosα，y=rsinα，（r＞0）；从而可得r²（cos²α-2cosαsinα+3sin²α）=4，而$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$，从而化简即可．

解答 解：设x=rcosα，y=rsinα，（r＞0）；
∵x²-2xy+3y²=4，
∴r²cos²α-2rcosαrsinα+3r²sin²α=4，
∴r²（cos²α-2cosαsinα+3sin²α）=4，
∴$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$
=$\frac{1}{4}$（cos²α-2cosαsinα+3sin²α）
=$\frac{1}{4}$（1-sin2α+2sin²α）
=$\frac{1}{4}$（1-sin2α+1-cos2α）
=$\frac{1}{4}$（2-$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）），
故当sin（2α+$\frac{π}{4}$）=1时，$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$有最小值$\frac{1}{4}$（2-$\sqrt{2}$）；
当sin（2α+$\frac{π}{4}$）=-1时，$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$有最大值$\frac{1}{4}$（2+$\sqrt{2}$）；
而$\frac{1}{4}$（2-$\sqrt{2}$）+$\frac{1}{4}$（2+$\sqrt{2}$）=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了方程思想的应用及整体思想与转化思想的应用，同时考查了换元法的应用．