Question

15．已知函数f（x）=$\frac{3x}{2x+1}$，数列{a_n}的首项a₁=t＞0，且a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若t=$\frac{3}{5}$，证明：{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+1＞a_n对一切n∈N^*都成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据数列的函数特征，得到a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，化简整理得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），当t=$\frac{3}{5}$时，得到{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，即可求出通项公式．
（2）由（1）求出数列{a_n}的通项公式，根据a_n+1＞a_n对一切n∈N^*都成立，得到$\frac{1}{t}$-1＜3（$\frac{1}{t}$-1），解得即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+1=f（a_n），f（x）=$\frac{3x}{2x+1}$，
∴a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∵a₁=t=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{5}{3}$-1=$\frac{2}{3}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+2}$
（2）由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∵a₁=t，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{1}{t}$-1
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$\frac{1}{t}$-1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=（$\frac{1}{t}$-1）（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{3}^{n-1}+（\frac{1}{t}-1）}$，
∵a_n+1＞a_n对一切n∈N^*都成立，
∴$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+（\frac{1}{t}-1）}$＞$\frac{{3}^{n-1}}{{3}^{n-1}+（\frac{1}{t}-1）}$，
∴$\frac{1}{t}$-1＜3（$\frac{1}{t}$-1），
解得0＜t＜1
故t的取值范围为（0，1）．

点评 本题主要考查了等比数列的定义通项公式的求法以及数列恒成立，考查学生的运算求解能力及推理论证能力，属中档题