Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知射线OA：x-y=0（x≥0），OB：x+2y=0（x≥0），过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B，AB的中点为P．
（1）求直线AB的方程；
（2）过点C（6，-1）作直线l，使得A，B两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据A在射线OA上，设A（a，a），根据P为线段AB中点，利用中点坐标公式变形出B坐标，代入射线OB解析式求出a的值，确定出A与B坐标，即可求出直线AB解析式．
（2）当AB∥直线l时，用点斜式求得直线l的方程；直线l经过线段AB的中点P（1，0），则由两点式求得直线l（即直线CP）的方程，综合可得结论．

解答 解：（1）∵已知射线OA：x-y=0（x≥0），OB：x+2y=0（x≥0），
过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B，AB的中点为P．
设A（a，a），∵A、B的中点为P，∴B（2-a，-a），
将B代入射线OB解析式得：（2-a）+2×（-a）=0，
解得：a=$\frac{2}{3}$，∴A（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），B（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$），P（1，0）
则直线AB为：$\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}$=$\frac{x-\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{4}{3}}$，即2x+y-2=0．
（2）过点C（6，-1）作直线l，使得A，B两点到直线l的距离相等，
若AB∥直线l，则直线l的斜率为K_AB =-2，
故直线l的方程为y+1=-2（x-6），即 2x+y-11=0．
若直线l经过线段AB的中点P（1，0），则由两点式求得直线l（即直线CD）的方程为$\frac{y-0}{-1-0}$=$\frac{x-1}{6-1}$，
即 x+5y-1=0．
综上可得，要求的直线l的方程为2x+y-11=0 或x+5y-1=0．

点评 此题考查了点到直线的距离公式，线段中点坐标公式，以及两直线的交点坐标，用点斜式和两点式求直线的方程，属于基础题．