Question

4．正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=（a_n+1）²，b_n=（-1）ⁿS_n
（1）求{a_n}通项公式
（2）求和T₁₀=b₁+b₂+b₃+…b₁₀．

Answer 1

分析 （1）由4S_n=（a_n+1）²，可得：n=1时，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1），化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
由于a_n+a_n-1＞0，可得a_n-a_n-1=2，利用等差数列的通项公式即可得出a_n，代入4S_n=（a_n+1）²，可得：S_n=n²．
（2）b_n=（-1）ⁿ•S_n=（-1）ⁿ•n²．利用“分组求和”、等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²，∴n=1时，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．
n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）a_n=2n-1代入4S_n=（a_n+1）²，可得：S_n=n²．
b_n=（-1）ⁿ•S_n=（-1）ⁿ•n²．
∴T₁₀=b₁+b₂+b₃+…b₁₀=（2²-1²）+（4²-3²）+…+（10²-9²）
=1+2+…+10=$\frac{10×（1+10）}{2}$=55．

点评 本题考查了“分组求和”方法、等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．