Question

13．各项均不相等的等差数列{a_n}前n项和为S_n，已知S₅=40，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）ⁿ$\frac{2n+3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由于S₅=40，且a₁，a₃，a₇成等比数列．课堂5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=40，${a}_{3}^{2}$=a₁a₇，即$（{a}_{1}+2d）^{2}$=a₁（a₁+6d），联立解出即可得出．
（II）b_n=（-1）ⁿ$\frac{2n+3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（-1）^{n}\frac{2n+3}{（2n+2）（2n+4）}$=（-1）ⁿ$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，对n分类讨论，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵S₅=40，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
∴5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=40，${a}_{3}^{2}$=a₁a₇，即$（{a}_{1}+2d）^{2}$=a₁（a₁+6d），
联立解得a₁=4，d=2．
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（II）b_n=（-1）ⁿ$\frac{2n+3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（-1）^{n}\frac{2n+3}{（2n+2）（2n+4）}$=（-1）ⁿ$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=T_2k=$\frac{1}{4}$$[-（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$-…+$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）]$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{2}）$=$\frac{-n}{8（n+2）}$．
T_n=T_2k-1=T_2k-$\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$=$\frac{-（n+1）}{8（n+3）}$-$\frac{1}{4}（\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}）$=-$\frac{n+4}{8（n+2）}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-n}{8（n+2）}，n=2k}\\{\frac{-（n+4）}{8（n+2）}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．