Question

8．如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，2）到抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点的距离为$\sqrt{5}$，过抛物线E的焦点F作两条相互垂直的直线分别交抛物线于A，B，C，D四点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义直接求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作两条相互垂直的直线，设AB：x=my+$\sqrt{5}$-1，CD：x=-$\frac{1}{m}$y+$\sqrt{5}$-1（m≠0），联立直线与抛物线方程组成方程组，利用弦长公式，求出|AB|，|CD|，推出四边形ACBD的面积的表达式，利用基本不等式求四边形ACBD面积的最小值．

解答 解：（1）∵直角坐标系xOy中，点P（1，2）到抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点的距离为$\sqrt{5}$，
∴（1-$\frac{p}{2}$）²+（2-0）²=5，
∴p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x；
（2）由（1）知：F（2，0）
设AB：x=my+2，CD：x=-$\frac{1}{m}$y+2（m≠0）
由AB方程与抛物线的方程得：y²-8my-16=0
∴|AB|=8（1+m²）
同理：|CD|=8（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）．
∴四边形ACBD的面积：S=$\frac{1}{2}|AB||CD|$=32（1+m²）（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）=32（2+m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$）≥128．
（当且仅当m²=$\frac{1}{{m}^{2}}$即：m=±1时等号成立）
∴四边形ACBD的面积的最小值为128．

点评 本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，四边形面积的最值以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．