Question

20．已知递增等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且a₂+1，a₄+1，S₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$-2，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则d＞0，运用等差数列的通项公式和求和公式，由等比数列的中项的性质，解方程可得d=2，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得b_n=$2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，因为a₁=1，
∴a₂+1=2+d，a₄+1=2+3d，S₄=4+6d，
∵a₂+1，a₄+1，S₄成等比数列，
∴${（{a_4}+1）^2}=（{a_2}+1）{S_4}$，
即（2+3d）²=（2+d）（4+6d），
解得d=2或$d=-\frac{2}{3}$．
∵等差数列{a_n}是递增数列，∴d=2，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}-2$
=$\frac{2n-1}{2n+1}+\frac{2n+1}{2n-1}-2$
=$（1-\frac{2}{2n+1}）+（1+\frac{2}{2n-1}）-2$=$2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=2（1-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\;）$
=$2（1-\frac{1}{2n+1}\;）$=$\frac{4n}{2n+1}$．

点评 本题主要考查等差数列、等比数列的通项和求和公式的运用，数列求和方法：裂项相消求和等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．