Question

12．在如图所示的五面体中，四边形ABCD是矩形，平面ADF⊥平面ABEF，且AB∥EF，AB=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$，AF=BE=2，M是EF的中点，N在AM上．
（I）求证：DN∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面ABEF⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （I）通过证明四边形ABEM是平行四边形得出AM∥BE，又AD∥BC，故平面ADM∥平面BCE，所以DN∥平面BCE；
（II）利用勾股定理的逆定理证明AM⊥AF，利用面面垂直的性质得出AM⊥平面ADE，于是AD⊥AM，又AD⊥AB，得出AD⊥平面ABEF，故而面ABEF⊥平面ABCD．

解答 证明（I）连结DM．
∵AB∥EF，AB=$\frac{1}{2}$EF，M是EF的中点，
∴AB$\stackrel{∥}{=}$EM，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴AM∥BE，又AM?平面BCE，BE?平面BCE，
∴AM∥平面BCE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，又BC?平面BCE，AD?平面BCE，
∴AD∥平面BCE，
又AD?平面ADM，AM?平面ADM，AD∩AM=A，
∴平面ADM∥平面BCE，
又DN?平面ADM，
∴DN∥平面BCE．
（II）由（I）知AM=BE=2，
∵AF=BE=2，MF=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$，
∴AM²+AF²=MF²，∴AM⊥AF．
∵平面ADF⊥平面ABEF，平面ADF∩平面ABEF=AF，AM?平面ABEF，
∴AM⊥平面DAF，∵DA?平面DAF，
∴AM⊥DA，
又∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
∵AB?平面ABEF，AM?平面ABEF，AB∩AM=A，
∴AD⊥平面ABEF，又AD?平面ABCD，
∴平面ABEF⊥平面ABCD．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质与判定．