Question

10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A₁BC₁D₁后形成的．已知AB=1，A₁A=C₁C=$\frac{1}{2}{D_1}$D，D₁B与底面ABCD所成的角为$\frac{π}{3}$，则这个多面体的体积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，连接BD，BD₁，可得∠${D}_{1}BD=\frac{π}{3}$，在底面正方形中，由AB=1，求得BD=$\sqrt{2}$，在Rt△D₁DB中，解直角三角形求得DD₁，求出直角梯形ADD₁A₁的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．

解答 解：如图，

连接BD，BD₁，则∠${D}_{1}BD=\frac{π}{3}$，
在底面正方形中，由AB=1，得BD=$\sqrt{2}$，
在Rt△D₁DB中，由BD=$\sqrt{2}$，∠${D}_{1}BD=\frac{π}{3}$，
求得${D}_{1}D=BD•tan\frac{π}{3}=\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，
∴A₁A=C₁C=$\frac{1}{2}{D_1}$D=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则${S}_{AD{D}_{1}{A}_{1}}=\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{6}}{2}+\sqrt{6}）×1=\frac{3\sqrt{6}}{4}$，
∴多面体的体积为V=$2×\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{6}}{4}×1=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥及棱台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．