Question

19．某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售．已知编制一只花篮需要铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要铜丝100米，铁丝300米．设该厂用所有原料编制x个花篮，y个花盆．
（1）列出x、y满足的关系式，并画出相应的平面区域；
（2）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盆可获利200元，那么怎样安排花篮和花盆的编制个数，可使所得利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）列出x、y满足的关系式为$\left\{\begin{array}{l}200x+100y≤50000\\ 300x+300y≤90000\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，画出不等式组所表示的平面区域即可．
（2）设该厂所得利润为z元，写出目标函数，利用目标函数的几何意义，求解目标函数z=300x+200y，所获得利润．

解答 （本小题满分13分）
（1）解：由已知x、y满足的关系式为$\left\{\begin{array}{l}200x+100y≤50000\\ 300x+300y≤90000\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，等价于$\left\{\begin{array}{l}2x+y≤500\\ x+y≤300\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$…（3分）
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分 …（6分）

（2）解：设该厂所得利润为z元，则目标函数为z=300x+200y…（8分）
将z=300x+200y变形为$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{200}$，这是斜率为$-\frac{3}{2}$，在y轴上截距为$\frac{z}{200}$、随z变化的一族平行直线．…（9分）
又因为x、y满足约束条件，所以由图可知，当直线$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{200}$经过可行域上的点M时，截距$\frac{z}{200}$最大，即z最大…（10分）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}2x+y=500\\ x+y=300\end{array}\right.$得点M的坐标为（200，100）且恰为整点，即x=200，y=100…（11分）
所以，z_max=300×200+200×100=80000…（12分）
答：该厂编制200个花篮，100花盆所获得利润最大，最大利润为8万元．…（13分）

点评 本题考查线性规划的实际应用，列出约束条件以及目标函数是解题的关键，注意目标函数的几何意义的应用．