Question

11．已知：函数g（x）=x²-2x+1．设函数f（x）=$\frac{g（x）}{x}$
（1）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；
（2）如果关于x的方程f（|2^x-1|）+t•（$\frac{4}{|{2}^{x}-1|}$-3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，求出函数的最值，即可得到结论；
（2）构造U=|2^x-1|＞0，整理方程 u²-（3t+2）u+（4t+1）=0，根据U函数图象可知当0＜u₁＜1＜u₂时，原方程有三个相异实根，根据二次函数的图象可得出满足的不等式φ（0）＞0，φ（1）＜0．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{g（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-2，
∴f（2^x）-k•2^x=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2-k2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，
设t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴k≤（t-1）²，
∴k≤0；
（2）f（|2^x-1|）+t•（$\frac{4}{|{2}^{x}-1|}$-3）=0，
令U=|2^x-1|＞0，
当U=|2^x-1|＞1时，只能2^x-1＞1，x有唯一解；
当U=|2^x-1|＜1时，0＜2^x-1＜1，或-1＜2^x-1＜0，
有两个解，
∴u²-（3t+2）u+（4t+1）=0，
∴记方程的根为u₁，u₂，当0＜u₁＜1＜u₂时，原方程有三个相异实根，
记φ（u）=u²-（3t+2）u+（4t+1），由题可知，
∴φ（0）＞0，φ（1）＜0，
∴-$\frac{1}{4}$＜t＜0．

点评 考查了换元法的应用和构造函数，利用二次函数图象解决实际问题．