Question

8．在△ABC中，已知atanA+btanB=（a+b）tan$\frac{A+B}{2}$，试判断此三角形的形状．

Answer 1

分析 根据正弦定理以及两角和与差的正弦公式，同角的三角函数的关系，化简即可．

解答 解：∵atanA+btanB=（a+b）tan$\frac{A+B}{2}$，
∴a（tanA-tan$\frac{A+B}{2}$）=b（tan$\frac{A+B}{2}$-tanB）
∴a（$\frac{sinA}{cosA}$-$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$）=b（$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$-$\frac{sinB}{cosB}$），
∴a•$\frac{sin（A-\frac{A+B}{2}）}{cos\frac{A+B}{2}cosA}$=b•$\frac{sin（\frac{A+B}{2}-B）}{cos\frac{A+B}{2}cosB}$，
∴a•$\frac{sin\frac{A-B}{2}}{cosA}$=b•$\frac{sin\frac{A-B}{2}}{cosB}$，
∴tanA=tanB，
∴A=B
故三角形为等腰三角形．

点评 本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦公式，同角的三角函数的关系，属于中档题．