Question

4．已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，点A，B分别是椭圆与x轴，y轴的交点，且原点O到AB的距离为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）F是椭圆的右焦点，过F的直线l交椭圆于M，N两点，当直线l绕着点F转动过程中，试问在直线l′：x=3上是否存在点P，使得△PMN是以P为顶点的等腰直角三角形，若存在求出直线l的方程，不存在说明理由．

Answer 1

分析 （I）根据题意列方程解出a，b即可得出椭圆方程；
（II）当l无斜率时，验证（3，0）是否满足条件，当直线有斜率时，设出l的点斜式方程y=k（x-2），联立方程组消元，求出MN及MN的中点坐标D，若存在符合条件的点P（3，y），则PD⊥MN，且PD=$\frac{1}{2}MN$，列出方程组得出关于k和y的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（I）∵点A，B分别是椭圆与x轴，y轴的交点，∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵椭圆离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，原点O到AB的距离为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$，解得a²=6，b²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（II）由椭圆方程可知椭圆右焦点F（2，0）．设MN的中点为D，
①若直线l无斜率，则直线l的方程为x=2，
把x=2代入椭圆方程得y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴MN=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
若直线l′：x=3上存在点P使得△PMN是以P为顶点的等腰直角三角形，
则PM=PN，故P（3，0）．PM=1，显然PM≠$\frac{1}{2}$MN，即PM，PN不垂直．
②若直线l有斜率，设l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-2）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{3{k}^{2}+1}$．
∴D（$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{-2k}{3{k}^{2}+1}$），MN=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{3{k}^{2}+1}\sqrt{24{k}^{2}+24}$=$\frac{2\sqrt{6}（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}$．
假设直线l′：x=3上存在点P（3，y）使得△PMN是以P为顶点的等腰直角三角形，
则$\left\{\begin{array}{l}{PD⊥MN}\\{PD=\frac{1}{2}MN}\end{array}\right.$．
若PD⊥MN，则$\frac{y+\frac{2k}{3{k}^{2}+1}}{3-\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}}=-\frac{1}{k}$，∴y+$\frac{2k}{3{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}$（3-$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$）．
若PD=$\frac{1}{2}$MN，则$\sqrt{（3-\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}）^{2}+（y+\frac{2k}{3{k}^{2}+1}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+1}$，∴$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|3-$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$|=$\frac{\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+1}$．
∴3$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，∴$\frac{1}{{k}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$．无解．
综上，直线l′：x=3上不存在点P，使得△PMN是以P为顶点的等腰直角三角形．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．