Question

9．若|$\overrightarrow{AB}$|=1，若|$\overrightarrow{CA}$|=2|$\overrightarrow{CB}$|，则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的最大值为2．

Answer 1

分析 分A，B，C三点共线与不共线两种情况进行讨论．

解答 解：（1）若A，B，C三点共线，
当$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$同向时，CA=2，CB=1，∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=2×1×cos0=2；
当$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$反向时，CA=$\frac{2}{3}$，CB=$\frac{1}{3}$，∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×cosπ$=-$\frac{2}{9}$．
（2）若A，B，C三点不共线，设BC=x，则AC=2x，AB=1．
由余弦定理得cosC=$\frac{{x}^{2}+4{x}^{2}-1}{4{x}^{2}}$=$\frac{5{x}^{2}-1}{4{x}^{2}}$.0＜C＜180°，
∴x²=$\frac{1}{5-4cosC}$．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=2x²cosC=$\frac{2cosC}{5-4cosC}$．
∴当-1＜cosC≤0时，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$≤0，
当0＜cosC＜1时，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$\frac{2cosC}{5-4cosC}$=$\frac{2}{\frac{5}{cosC}-4}$＜$\frac{2}{5-4}=2$．
综上，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，分情况讨论思想，属于中档题．