Question

14．已知椭圆C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，过左焦点F₁的直线与椭圆C相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C长轴的左、右两端点分别为D，E，点P为椭圆上异于D，E的动点，直线l：x=-4与直线PD，PE分别交于M，N两点，试问△F₁MN的外接圆是否恒过x轴上不同于点F₁的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）离心率e=$\frac{1}{2}$=$\frac{c}{a}$，可得：a=2c，b²=3c²，椭圆的标准方程化为：3x²+4y²=12c²．设直线AB的方程为：y=k（x+c），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（3+4k²）x²+8k²cx+4k²c²-12c²=0，可得x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}c}{3+4{k}^{2}}$=2×$（-\frac{4}{7}）$，又$\frac{3}{7}$=k×$（-\frac{4}{7}+c）$，联立解出即可得出．
（II）F₁（-1，0）．由k_PD•k_PE=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．设直线PD的方程为：y=k（x+2），可得M（-4，-2k）．可得：直线PEd的方程为：y=-$\frac{3}{4k}$（x-2），N（-4，$\frac{9}{2k}$）．利用线段垂直平分线的性质可得△F₁MN的外接圆的圆心及其方程是：（x+4）²+$（y-\frac{9-4{k}^{2}}{4k}）^{2}$=$\frac{（9+4{k}^{2}）^{2}}{16{k}^{2}}$．令y=0，解出即可得出．

解答 解：（I）∵离心率e=$\frac{1}{2}$=$\frac{c}{a}$，∴a=2c，b²=3c²，椭圆的标准方程化为：3x²+4y²=12c²．
设直线AB的方程为：y=k（x+c），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+c）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\end{array}\right.$，化为（3+4k²）x²+8k²cx+4k²c²-12c²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}c}{3+4{k}^{2}}$=2×$（-\frac{4}{7}）$，$\frac{3}{7}$=k×$（-\frac{4}{7}+c）$，
联立解得c=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）F₁（-1，0）．
由k_PD•k_PE=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$．
设直线PD的方程为：y=k（x+2），可得M（-4，-2k）．
可得：直线PE的方程为：y=-$\frac{3}{4k}$（x-2），N（-4，$\frac{9}{2k}$）．
线段MN的垂直平分线：y=$\frac{9-4{k}^{2}}{4k}$．
线段MF₁的垂直平分线为：y+k=$-\frac{3}{2k}$$（x+\frac{5}{2}）$．
联立解得：$（-4，\frac{9-4{k}^{2}}{4k}）$．
∴△F₁MN的外接圆的方程是：（x+4）²+$（y-\frac{9-4{k}^{2}}{4k}）^{2}$=$\frac{（9+4{k}^{2}）^{2}}{16{k}^{2}}$．
令y=0，可得x=-1或-7．
∴△F₁MN的外接圆是恒过x轴上不同于点F₁的定点（-7，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、线段的垂直平分线的性质、三角形外接圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．