Question

5．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且E的长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍，F₁，F₂分别是E的左，右焦点．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率与标准方程；
（Ⅱ）若抛物线y²=4x上存在两点A，B，椭圆E上存在两点C，D，满足A，B，F₂三点共线，C，D，F₂三点共线，且CD⊥AB，求四边形ADBC面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：$\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，$2a=\sqrt{2}×2b$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）F₂（1，0），对直线AB的斜率分类讨论：①AB⊥x轴时，|AB|=4，|CD|=2$\sqrt{2}$，可得：四边形ADBC面积S=$\frac{1}{2}×$|AB|×|CD|．
②直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：my+1=x，则CD的方程为：$-\frac{1}{m}y$+1=x．（m≠0）．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），分别与抛物线方程、椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|AB|，|CD|，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：$\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，$2a=\sqrt{2}×2b$，a²=b²+c²，解得：b=1，a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）F₂（1，0），
①AB⊥x轴时，|AB|=4，|CD|=2$\sqrt{2}$，可得：四边形ADBC面积S=$\frac{1}{2}×$|AB|×|CD|=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．
②直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：my+1=x，则CD的方程为：$-\frac{1}{m}y$+1=x．（m≠0）．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+1=x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=4（1+m²）．
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{m}y+1=x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+2m²）x²-4m²x+2m²-2=0，
∴x₃+x₄=$\frac{4{m}^{2}}{1+2{m}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{m}^{2}}$．
∴|CD|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}]}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{1+2{m}^{2}}$．
∴四边形ADBC面积S=$\frac{1}{2}×$|AB|×|CD|=$\frac{1}{2}×4（1+{m}^{2}）$×$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{1+2{m}^{2}}$=$\sqrt{2}$×$（2{m}^{2}+1+\frac{1}{2{m}^{2}+1}+2）$≥4$\sqrt{2}$，∵m≠0，因此不能取等号．
综上可得：S≥4$\sqrt{2}$．
∴当AB⊥x轴时，四边形ADBC面积取得最小值4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．