Question

2．设F₁，F₂分别是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，AF₁=3BF₁．
（Ⅰ）若AB=4，△ABF₂的周长为16，求AF₂；
（Ⅱ）若cos∠AF₂B=$\frac{3}{5}$，求椭圆E的离心率．

Answer 1

分析 （I）由AF₁=3BF₁，AB=4，可得AF₁=3，由于△ABF₂的周长为16，可得：AB+BF₂+AF₂=4a=16，解得a．又AF₁+AF₂=2a，即可得出．
（II）设|F₁B|=k（k＞0），则|AF₁|=3k，|AB|=4k，|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k，在△ABF₂中，由余弦定理得，|AB|²=|AF₂|²+|BF₂|²-2|AF₂|•|BF₂|cos∠AF₂B，解得k，进而得出．

解答 解：（I）∵AF₁=3BF₁，AB=4，∴AF₁=3，BF₁=1，
∵△ABF₂的周长为16，∴AB+BF₂+AF₂=4a=16，解得a=4．
又AF₁+AF₂=2×4，
∴AF₂=5．
（II）设|F₁B|=k（k＞0），则|AF₁|=3k，|AB|=4k，
∴|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k
∵cos∠AF₂B=$\frac{3}{5}$，
在△ABF₂中，由余弦定理得，|AB|²=|AF₂|²+|BF₂|²-2|AF₂|•|BF₂|cos∠AF₂B，
∴（4k）²=（2a-3k）²+（2a-k）²-$\frac{6}{5}$（2a-3k）（2a-k），
化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，
∴|AF₂|=|AF₁|=3k，|BF₂|=5k，
∴|BF₂|²=|AF₂|²+|AB|²，
∴AF₁⊥AF₂，
∴△AF₁F₂是等腰直角三角形，
∴c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．