Question

7．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（0，1），离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线l：y=kx+m交椭圆于不同两点A，B
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若|PA|=|PB|，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）列方程组解出a，b得出椭圆方程；
（II）联立直线与椭圆方程组成的方程组，消元，利用弦长公式计算|AB|及P到直线l的距离，得出三角形的面积，设AB的中点为M，由PA=PB得出PM⊥AB，分情况讨论k的取值范围，得出三角形面积关于参数m的函数，利用导数求出面积函数的最值．

解答 解：（I）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（0，1），离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（II）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（$\frac{1}{2}+{k}^{2}$）x²+2kmx+m²-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{2km}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-1}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$•\frac{\sqrt{4{k}^{2}-2{m}^{2}+2}}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$．
P到直线l的距离d=$\frac{|m-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{|m-1|}{1+2{k}^{2}}\sqrt{4{k}^{2}-2{m}^{2}+2}$．
∵y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=-$\frac{2{k}^{2}m}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$+2m．
设AB的中点为M，则M（-$\frac{km}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，-$\frac{{k}^{2}m}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$+m）
∵|PA|=|PB|，∴PM⊥AB．
（1）若k=0，则直线l方程为y=m．显然-1＜m＜1，
∴S_△ABP=（1-m）$\sqrt{2-2{m}^{2}}$=$\sqrt{（1-m）^{2}（2-2{m}^{2}）}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{-{m}^{4}+2{m}^{3}-2m+1}$．
令f（m）=-m⁴+2m³-2m+1，则f′（m）=-4m³+6m²-2．
令f′（m）=0得：2m³-3m²+1=0．即（m-1）（2m²-m-1）=0．
解得m=1（舍）或m=-$\frac{1}{2}$．
当-1$＜m＜-\frac{1}{2}$时，f′（m）＞0，当-$\frac{1}{2}$＜m＜1时，f′（m）＜0．
∴f（m）在（-1，$-\frac{1}{2}$）上单调递增，在（-$\frac{1}{2}$，1）上单调递减．
∴当x=-$\frac{1}{2}$时f（m）取得最大值f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{27}{16}$．
∴S_△ABP的最大值为$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{27}{16}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．
（2）若k≠0，则直线PD的斜率为$\frac{-\frac{{k}^{2}m}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}+m-1}{-\frac{km}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$．
整理得2k²+m+1=0．∴1+2k²=-m≥1．即m≤-1．
∴S_△ABP=$\frac{|m-1|}{-m}\sqrt{-2m-2{m}^{2}}$，
由-2m-2m²＞0得-1＜m＜0，与m≤-1矛盾．
∴k=0．
综上，△ABP面积的最大值为$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，计算量较大，考查知识点较多，属于难题．