Question

17．设函数f（x）=|x-1|+a|x-2|，a∈R
（Ⅰ）若函数f（x）存在最小值，求a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈R，有f（x）≥$\frac{1}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （I）由题意可知：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1-a）x+2a+1，x＜1}\\{（1-a）x+2a-1，1≤x＜2}\\{（a+1）x-2a-1，x≥2}\end{array}\right.$，由于f（x）存在最小值，可得$\left\{\begin{array}{l}{-1-a≤0}\\{a+1≥0}\end{array}\right.$，解得a即可得出．
（II）由（I）可知：a≥-1，因此$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥0}\\{f（1）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜0}\\{f（2）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a即可得出．

解答 解：（I）由题意可知：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1-a）x+2a+1，x＜1}\\{（1-a）x+2a-1，1≤x＜2}\\{（a+1）x-2a-1，x≥2}\end{array}\right.$，
∵f（x）存在最小值，∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-a≤0}\\{a+1≥0}\end{array}\right.$，解得a≥-1．
（II）由（I）可知：a≥-1，因此$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥0}\\{f（1）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜0}\\{f（2）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了分段函数的性质、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．