Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2$\sqrt{5}$，点M在PC上，PM=mMC．
（1）求证：平面PAD⊥平面MBD；
（2）试确定m的值，使三棱锥P-ABD体积为三棱锥P-MBD体积的3倍．

Answer 1

分析 （1）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；
（2）由PM=mMC，可得三棱锥P-MBD体积=$\frac{m}{m+1}$×三棱锥P-BCD体积，三棱锥P-ABD体积为三棱锥P-MBD体积的3倍，可得三棱锥P-MBD体积=$\frac{2}{3}$V_P-BCD，即可求出m的值．

解答 （1）证明：在△ABD中，
由于AD=2，BD=4，AB=2$\sqrt{5}$，
所以AD²+BD²=AB²．故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD．
（2）解：∵PM=mMC，
∴三棱锥P-MBD体积=$\frac{m}{m+1}$×三棱锥P-BCD体积，
∵AB=2DC=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABD=2S_△BCD，
∴V_P-ABD=2V_P-BCD，
∵三棱锥P-ABD体积为三棱锥P-MBD体积的3倍，
∴三棱锥P-MBD体积=$\frac{2}{3}$V_P-BCD，
∴$\frac{m}{m+1}$=$\frac{2}{3}$，
∴m=2．

点评 本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及棱锥的体积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．