Question

19．函数y=x³-3x-a有三个相异的零点，则a的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [-2，2]
• C． （-2，2）
• D． （-∞，-2]

Answer 1

分析 求出函数的导数，运用导数判断出极值，根据图象求解出a的范围即可．

解答 解：函数y=x³-3x-a，
y′=3x²-3，
∴y′=3x²-3=0，x=±1，
y′=3x²-3＞0，x＞1，x＜-1，
y′=3x²-3＜0，-1＜x＜1，
∴函数在（-1，1）单调递减，（1，+∞）（-∞，-1）单调递增，
∴f（x）_极大值=f（-1）=2-a，
f（x）_极小值=f（2）=-2-a
∴使得函数f（x）=x³-3x-a有三个零点，必须：$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞0}\\{-2-a＜0}\end{array}\right.$，解得a∈（-2，2）．
故选：C．

点评 本题考查了函数的图象的运用，结合导数判断极值，考查数形结合思想的应用，属于综合题，难度较大．