Question

11．已知a_n=log₂3log₃4…log_n（n+1），使a_n∈N的n叫希望数，求在[1，2015]内所有希望数的和．

Answer 1

分析 化简a_n=log₂3log₃4…log_n（n+1）=log₂（n+1），利用使a_n∈N的n叫希望数，得n=2^m-1，给m依次取值，可得区间[1，2015]内所有希望数，然后求和．

解答 解：a_n=log₂3log₃4…log_n（n+1）=log₂（n+1），a_n∈N的n叫希望数，log₂（n+1）为整数，
设log₂（n+1）=m，则n+1=2^m，∴n=2^m-1； 因为2¹¹=2048＞2015，
∴区间[1，2015]内所有希望数为2¹-1，2²-1，2³-1，2⁴-1，…，2¹⁰-1，
其和M=2¹-1+2²-1+2³-1+2⁴-1+…+2¹⁰-1=2036．
故答案为：2036．

点评 本题考查对数函数的运算性质，数列求和，求出区间[1，20105]内所有希望数，2¹-1，2²-1，2³-1，2⁴-1，…，2¹⁰-1，是解题的关键．