Question

17．已知不等式mx²-2x-m+1＜0．
（1）若对任意实数x上述不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）若对一切m∈[-2，2]上述不等式恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对二次项系数讨论，利用判别式判断即可；
（2）可构造关于m的一次函数g（m）=m（x²-1）-2x+1，利用一次函数的性质求解即可．

解答 解：（1）若对任意实数x上述不等式恒成立，
当m=0时，-2x+1＜0显然不恒成立，
当m≠0时，要使对任意实数x上述不等式恒成立，
∴m＜0，且△＜0，
∴m²-m+1＜0，解得x∈Φ；
故不存在m，使得mx²-2x-m+1＜0对任意实数x上述不等式恒成立．
（2）若对一切m∈[-2，2]上述不等式恒成立，
设g（m）=m（x²-1）-2x+1，
∴g（-2）＜0，且g（2）＜0，
∴$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
故x的范围为$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，

点评 本题考查了二次项系数的讨论问题和构造一次函数，解决恒成立问题．属于技巧性问题，应掌握．