Question

13．已知函数f（x）=4^x，若4，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2ⁿ⁺³（n∈N^*）构成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设 b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}，n为偶数\\ n+2，n为奇数\end{array}$求数列{$\frac{b_n}{a_n}}$}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （I）运用等比数列的通项公式，结合函数的解析式，计算可得所求数列的通项公式；
（Ⅱ）设$\frac{b_n}{a_n}}$=c_n，讨论n为偶数和奇数，运用分组求和和裂项相消求和，计算即可得到所求和．

解答 解：（I）由4，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2ⁿ⁺³构成等比数列，
设公比为q，可得2ⁿ⁺³=4qⁿ⁺¹，解得q=2，
即有f（a_n）=${4}^{{a}_{n}}$=4•2ⁿ=2ⁿ⁺²，
可得a_n=$\frac{n+2}{2}$；
（Ⅱ）设$\frac{b_n}{a_n}}$=c_n，由b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}，n为偶数\\ n+2，n为奇数\end{array}$，
当n为偶数时，c_n=$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$；当n为奇数时，c_n=2．
当n为偶数时，S_n=（c₁+c₃+c₅+…+c_n-1）+（c₂+c₄+c₆+…+c_n）
=（2+2+2+…+2）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=2•$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=n+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$；
当n为奇数时，S_n=S_n+1-C_n+1=n+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+3}$-（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）
=n+$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$．
综上可得，$\left\{\begin{array}{l}{n+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}，n为偶数}\\{n+\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．