Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$，是△ABC以BC为斜边的直角三角形，则m=-11．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，根据$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$列方程解出m即可．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（m-1）$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$．
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$．
即（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）•[（m-1）$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$]=（1-m）${\overrightarrow{a}}^{2}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$+（m+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．
∵${\overrightarrow{a}}^{2}$=4，${\overrightarrow{b}}^{2}$=9，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2×3×cos60°=3，
∴4（1-m）-18+3（m+1）=0，
解得m=-11．
故答案为：-11．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于中档题．