Question

3．已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且a₁=1，2S_n=a_na_n+1，则S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：当n=1时，2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，∴a₂=2．
当n≥2时，2S_n=a_na_n+1，2S_n-1=a_n-1a_n，两式相减得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2，
∴{a_2k-1}，{a_2k}都是公差为2的等差数列，又a₁=1，a₂=2，
∴{a_n}是公差为1的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
故答案为：$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．