Question

14．实数x，y满足x²-2xy+2y²=2，则x²+2y²的最小值为4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 化简可得（x-y）²+y²=2，令x-y=$\sqrt{2}$cosa，y=$\sqrt{2}$sina，从而利用三角恒等变换化简求最值．

解答 解：∵x²-2xy+2y²=2，
∴（x-y）²+y²=2，
∴x-y=$\sqrt{2}$cosa，y=$\sqrt{2}$sina，
∴x=$\sqrt{2}$cosa+$\sqrt{2}$sina，
∴x²+2y²=（$\sqrt{2}$cosa+$\sqrt{2}$sina）²+2（$\sqrt{2}$sina）²
=2+4sinacosa+4sin²a
=2+2sin2a+2-2cos2a
=4+2$\sqrt{2}$sin（2a-$\frac{π}{4}$），
故当sin（2a-$\frac{π}{4}$）=-1时有最小值4-2$\sqrt{2}$，
故答案为：4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力，同时考查了整体思想与转化思想的应用及换元法的应用．