Question

12．已知$\overrightarrow{OA}$=（6，-2），$\overrightarrow{OB}$=（-1，2），若$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{OA}$．
（1）求$\overrightarrow{BC}$；
（2）求$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角θ

Answer 1

分析 （1）利用两个向量垂直、共线的性质，利用两个向量坐标形式的运算法则，求得点C的坐标，可得$\overrightarrow{BC}$．
（2）利用两个向量夹角公式，求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：（1）∵已知$\overrightarrow{OA}$=（6，-2），$\overrightarrow{OB}$=（-1，2），若$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{OA}$，
设$\overrightarrow{OC}$=（x，y），则$\overrightarrow{BC}$=（x+1，y-2），且$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{\frac{x+1}{6}=\frac{y-2}{-2}}\end{array}\right.$，
求得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{BC}$=（3，-1）．
（2）设$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，∵cosθ=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{-3-2}{\sqrt{10}•\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量垂直、共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．