Question

20．若存在实数x，y同时满足x²+y²≤1，|x-a|+|y-1|≤1，则实数a的取值范围是[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 化简不等式组，作出对应的图象，结合直线和圆相切的条件求出对应的a的值即可得到结论．

解答 解：∵存在实数x，y同时满足x²+y²≤1，|x-a|+|y-1|≤1，
则-1≤y≤1，
则不等式，|x-a|+|y-1|≤1等价|x-a|-y+1≤1，
即|x-a|≤y，
作出x²+y²≤1，|x-a|≤y，对应的区域如图，
当a＜0，x＞a直线方程为y=x-a，即x-y-a=0，
此时当直线x-y-a=0与圆相切时，圆心到直线的距离d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=1，即|a|=$\sqrt{2}$，
此时a=-$\sqrt{2}$，即此时B（-$\sqrt{2}$，0），
当a＞0，x＜a直线方程为y=-（x-a），即x+y-a=0，
此时当直线x+y-a=0与圆相切时，圆心到直线的距离d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=1，即|a|=$\sqrt{2}$，
此时a=$\sqrt{2}$，即此时A（$\sqrt{2}$，0），
若存在实数x，y同时满足x²+y²≤1，|x-a|+|y-1|≤1，
则-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$，
故答案为：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．