Question

5．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x+2}\\{x+y≤2}\\{x+2y≥0}\end{array}\right.$，则z=y-2x的最大值是$\frac{10}{3}$；若函数y=|2x+m|与该约束条件表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是-4≤m≤$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由z=y-2x，得y=2x+z，
作出不等式对应的可行域
平移直线y=2x+z，
由平移可知当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最大，此时z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即B（-$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
代入z=y-2x，得z=$\frac{2}{3}$-2×（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{10}{3}$，y=|2x+m|=2|x+$\frac{m}{2}$|，
则函数关于x=-$\frac{m}{2}$对称，
作出y=2|x|的图象，
由图象平移得当-$\frac{m}{2}$=2时，m=-4，
当曲线y=2|x+$\frac{m}{2}$|经过点B（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$），时，
得2（-$\frac{4}{3}$）+m=$\frac{2}{3}$，
即m-$\frac{8}{3}$=$\frac{2}{3}$，
得m=$\frac{10}{3}$，
则-4≤m≤$\frac{10}{3}$，
故答案为：$\frac{10}{3}$，-4≤m≤$\frac{10}{3}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义，利用数形结合进行平移是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．