Question

13．不等式0＜x-$\frac{1}{x}$＜1解集为{x|1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}；．

Answer 1

分析 根据x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，在不等式两边同时乘以x，不等号方向不变，得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当x小于0时，在不等式两边同时乘以x，不等号的方向改变，得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的并集即为原不等式的解集．

解答 解：当x＞0时，在原不等式0＜x-$\frac{1}{x}$＜1两边同时乘以x得：
0＜x²-1＜x，即：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＞0}\\{{x}^{2}-x-1＜0}\end{array}\right.$解得1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，不等式的解集为{x|1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}；
当x＜0时，在不等式0＜x-$\frac{1}{x}$＜1两边同时乘以x得：
0＞x²-1＞x，即：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＜0}\\{{x}^{2}-x-1＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，不等式解集为{x|-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}；
综上，原不等式的解集为{x|1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}；
故答案为：{x|1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}；

点评 此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想及分类讨论的思想．学生做题时注意不等式两边同时乘以负数时不等号方向要改变．