Question

4．已知非空集合A是由一些函数组成，满足如下性质：
①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f^-1（x），且f^-1（x）∈A；
②对任意f（x）∈A，方程f（x）=x均有解；
③对任意f（x）、g（x）∈A，若函数g（x）为定义在R上的一次函数，则f（g（x））∈A；
（1）若f（x）=${（\frac{1}{2}）^x}$，g（x）=2x-3均在集合A中，求证：函数h（x）=${log_{\frac{1}{2}}}$（2x-3）∈A；
（2）若函数f（x）=$\frac{{{x^2}+a}}{x+1}$（x≥1）在集合A中，求实数a的取值范围；
（3）若集合A中的函数均为定义在R上的一次函数，求证：存在一个实数x₀，使得对一切f（x）∈A，均有f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=${（\frac{1}{2}）^x}$∈A，根据性质①可得：f^-1（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$∈A，且存在x₀＞0，使得$lo{g}_{\frac{1}{2}}{x}_{0}$=x₀，由g（x）=2x-3∈A，且为一次函数，根据性质③即可证明．
（2）由性质②，方程$\frac{{{x^2}+a}}{x+1}$=x（x≥1），即a=x在x∈[1，+∞）上有解，可得a≥1．变形f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$=x+1+$\frac{a+1}{x+1}$-2，（x∈[1，+∞））．对$\sqrt{a+1}$与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．
（3）任取f₁（x）=ax+b，f₂（x）=cx+d∈A，由性质（1）a，c≠0，不妨设a，c≠1，（若a=1，则b=0，f₁（x）=x），由性质③函数g（x）=f₁（f₂（x））=acx+（ad+b）∈A，函数h（x）=f₂（f₁（x））=acx+（bc+d）∈A，由性质①：h^-1（x）=$\frac{x-（bc+d）}{ac}$∈A，由性质③：h^-1（g（x））=$\frac{acx+（bd+b）-（bc+d）}{ac}$=x=$\frac{（ad+b）-（bc+d）}{ac}$∈A，由性质②方程：x+$\frac{（ad+b）-（bc+d）}{ac}$=x有解，可得ad+b=bc+d，即$\frac{b}{a-1}=\frac{d}{c-1}$，即可证明．

解答 （1）证明：由f（x）=${（\frac{1}{2}）^x}$∈A，根据性质①可得：f^-1（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$∈A，且存在x₀＞0，使得$lo{g}_{\frac{1}{2}}{x}_{0}$=x₀，
由g（x）=2x-3∈A，且为一次函数，根据性质③可得：h（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（2x-3）$=f^-1（g（x））∈A．
（2）解：由性质②，方程$\frac{{{x^2}+a}}{x+1}$=x（x≥1），即a=x在x∈[1，+∞）上有解，∴a≥1．
由f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}-1+a+1}{x+1}$=x+1+$\frac{a+1}{x+1}$-2，（x∈[1，+∞））．
若$\sqrt{a+1}$＞2，a＞3时，$\frac{a-1}{2}$＞1，且f（1）=$f（\frac{a-1}{2}）$，∴此时f（x）没有反函数，即不满足性质①．
若$\sqrt{a+1}$≤2，1≤a≤3时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）有反函数，即满足性质①．
综上：a∈[1，3]．
（3）证明：任取f₁（x）=ax+b，f₂（x）=cx+d∈A，由性质（1）a，c≠0，不妨设a，c≠1，（若a=1，则b=0，∴f₁（x）=x），
由性质③函数g（x）=f₁（f₂（x））=acx+（ad+b）∈A，函数h（x）=f₂（f₁（x））=acx+（bc+d）∈A，
由性质①：h^-1（x）=$\frac{x-（bc+d）}{ac}$∈A，
由性质③：h^-1（g（x））=$\frac{acx+（bd+b）-（bc+d）}{ac}$=x=$\frac{（ad+b）-（bc+d）}{ac}$∈A，
由性质②方程：x+$\frac{（ad+b）-（bc+d）}{ac}$=x有解，∴ad+b=bc+d，即$\frac{b}{a-1}=\frac{d}{c-1}$，
f₁（x）=x，可得ax+b=x，x=$\frac{b}{a-1}$．f₂（x）=x，可得cx+d=x，x=$\frac{d}{c-1}$．
由此可知：对于任意两个函数f₁（x），f₂（x），存在相同的x₀满足：f₁（x₀）=x₀f₂（x₀），
∴存在一个实数x₀，使得对一切f（x）∈A，均有f（x₀）=x₀．

点评 本题考查了反函数的性质、方程的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．