Question

9．设集合P={1，2，…，6}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：129．

Answer 1

分析 设A中的最大数为k，其中1≤k≤n-1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中．由此能求出a_n，当n=6时，代值计算即可．

解答 解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n-1，整数n≥3，
则A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，
可在A中，故A的个数为：C_k-1⁰+C_k-1¹+C_k-1²+…+C_k-1^k-1=2^k-1，
B中必不含元素1，2，…，k，
另元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中，
故B的个数为：C_n-k¹+C_n-k²+…+C_n-k^n-k=2^n-k-1，
从而集合对（A，B）的个数为2^k-1•（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1，
∴a_n=$\sum_{n=1}^{k-1}$（2^n-1-2^k-1）=（n-1）•2^n-1-$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=（n-2）•2^n-1+1．
当n=6时，a₆=（6-2）×2⁵+1=129
故答案为：129．

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查数列的通项公式，是中档题．