Question

17．如图所示的多面体EF-ABCD中，AF⊥底面ABCD，AF∥CE，四边形ABCD为正方形，AF=2AB=2CE．
（1）求证：EF⊥平面BED；
（2）当三棱锥E-BDF的体积为4时，求多面体EF-ABCD的表面积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，可得AC⊥BD，再由AF⊥底面ABCD，得到平面ACEF⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质得BD⊥平面ACEF，则BD⊥EF，设CE=a，得AB=a，AF=2a，通过求解直角三角形得$O{E}^{2}={a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}=\frac{3}{2}{a}^{2}$，$O{F}^{2}=4{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}=\frac{9}{2}{a}^{2}$，$E{F}^{2}={a}^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}=3{a}^{2}$，由勾股定理可得EF⊥OE，由线面垂直的判定EF⊥平面BED；
（2）由三棱锥E-BDF的体积为4，结合等积法得三棱锥F-BDE的体积为4，代入三棱锥体积公式求得a值，则多面体EF-ABCD的表面积可求．

解答 （1）证明：如图，
连接AC，BD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
设AC∩BD=O，连接AO，EO，
∵AF⊥底面ABCD，AF?平面ACEF，
∴平面ACEF⊥平面ABCD，
又平面ACEF∩平面ABCD，
∴BD⊥平面ACEF，则BD⊥EF，
设CE=a，由AF=2AB=2CE，得AB=a，AF=2a，
∴AO=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
则$O{E}^{2}={a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}=\frac{3}{2}{a}^{2}$，$O{F}^{2}=4{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}=\frac{9}{2}{a}^{2}$，
过E作EG⊥AF于G，则$E{F}^{2}={a}^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}=3{a}^{2}$，
∵EF²+OE²=OF²，
∴EF⊥OE，又OE∩BD=O，
∴EF⊥平面BED；
（2）三棱锥E-BDF的体积为4，即三棱锥F-BDE的体积为4，
∴${V}_{F-BED}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\frac{\sqrt{6}}{2}a×\sqrt{3}a=4$，
解得：a=2．
∴多面体EF-ABCD的表面积为S=2×2+2×$\frac{1}{2}×2×2$+2×$\frac{1}{2}×2×4$+2×$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×12$=$16+24\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了等积法求三棱锥的体积，是中档题．