Question

2．设整数n≥3，集合P={1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：（n-2）•2^n-1+1．

Answer 1

分析 设A中的最大数为k，其中1≤k≤n-1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中．由此能求出a_n．

解答 解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n-1，整数n≥3，
则A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，可在A中，
故A的个数为：${C}_{k-1}^{0}$+${C}_{k-1}^{1}$+…+${C}_{k-1}^{k-1}$=2^k-1，
B中必不含元素1，2，…，k，
另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，
故B的个数为：${C}_{n-k}^{1}$+${C}_{n-k}^{2}$+…+${C}_{n-k}^{n-k}$=2^n-k-1，
从而集合对（A，B）的个数为2^k-1•（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1，
∴a_n=$\sum_{k=1}^{n-1}$（2^n-1-2^k-1）
=（n-1）•2^n-1-$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$
=（n-2）•2^n-1+1．
故答案为：（n-2）•2^n-1+1．

点评 本题考查数列的第3项的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．