Question

13．在△ABC中，a，b，c成等比数列．
（1）若$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求∠B值；
（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC中，a、b、c成等比数列及正弦定理可得sin²B=sinAsinC，将所求关系式中的切化弦即可求得其值；
（2）先根据正弦定理求出b=2RsinB=4sinB，再根据余弦定理求出B的范围，根据三角的面积公式得到S_△ABC=8sin³B，即可求出面积的范围．

解答 解：（1）由a、b、c成等比数列，得b²=ac，sin²B=sinAsinC，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，
∴πR²=4π，
∴R=2，
∴b=2RsinB=4sinB
∵b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，
∴当且仅当a=c时，cosB取最小值$\frac{1}{2}$．
∴B的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]，
∴0＜sinB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴0＜sin³B≤$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$b²sinB=8sin³B，
∴0＜S_△ABC≤3$\sqrt{3}$
故△ABC面积的取值范围为（0，3$\sqrt{3}$]．

点评 本题考同角三角函数基本关系的运用，着重考查正弦定理与余弦定理及基本不等式的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．