Question

1．已知抛物线y²=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，P为抛物线上的点，设|PK|=t|PF|，则实数t的取值范围是[1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由题意可得F（1，0），K（-1，0），过点P作PH垂直于准线x=-1，垂足为H，由条件可得t=$\frac{|PK|}{|PF|}$=$\frac{|PK|}{|PH|}$，当点P与原点O重合时，|PH|=|PK|，t有最小值为1；当直线MN和抛物线相切时，t=$\frac{|PK|}{|PF|}$=$\frac{|PK|}{|PH|}$=$\frac{1}{cosθ}$有最大值．求出切线的斜率，即可求出的t最大值．

解答 解：由题意可得F（1，0），K（-1，0），过点P作PH垂直于准线x=-1，垂足为H，
由抛物线的定义可得|PF|=|PH|
由条件可得t=$\frac{|PK|}{|PF|}$=$\frac{|PK|}{|PH|}$
如图所示：

故当点P与原点O重合时，|PH|=|PK|，t有最小值为1．
当直线PK和抛物线相切时，t=$\frac{|PK|}{|PF|}$=$\frac{|PK|}{|PH|}$=$\frac{1}{cosθ}$有最大值，这里θ=∠PKF．
设当直线PK和抛物线相切时，PK的方程为x=my-1，代入抛物线方程化简可得y²-4my+4=0．
由题意可得，此方程的判别式△=0，即16m²-16=0，∴m=±1，即 tanθ=1，
故cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故t的最大值为$\sqrt{2}$．
综上可得t∈[1，$\sqrt{2}$]，
故答案为：[1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．