Question

16．过抛物线E：y²=2px（p＞0）准线上任意点C作E的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值；
（2）C在AB上的射影H是否为定点，若是，请求出其坐标，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设C（-$\frac{p}{2}$，t），过C的切线l的方程为：y-t=k（x+$\frac{p}{2}$），联立抛物线E：y²=2px，消去x，利用△=0，结合韦达定理求k₁•k₂，即可求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值；
（2）确定直线AB经过焦点F，直线AB的一个方向向量为$\overrightarrow{m}$=（1-k²，2k），证明$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{m}$=0，即可得出结论．

解答 解：（1）设C（-$\frac{p}{2}$，t），过C的切线l的方程为：y-t=k（x+$\frac{p}{2}$），
联立抛物线E：y²=2px，消去x得：ky²-2py+p（2t+pk）=0①
l与E相切时，方程①由两个相等的实根，则△=0，即pk²+2tk-p=0②
方程②的两根k₁，k₂是切线CA，CB的斜率，由根与系数的关系知：k₁k₂=-1，
∴CA⊥CB，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设CA的斜率为k，则y₁是方程①的相等实根，
由根与系数的关系得y₁=$\frac{p}{k}$，则x₁=$\frac{p}{2{k}^{2}}$．
由（1），CB的斜率为-$\frac{1}{k}$，
同理y₂=-pk，则x₂=$\frac{p{k}^{2}}{2}$．
∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$．
直线AB的方程为y+pk=$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$（x-$\frac{p{k}^{2}}{2}$）．
令y=0，得x=$\frac{p}{2}$，∴直线AB经过焦点F．
由方程②得t=$\frac{p（1-{k}^{2}）}{2k}$，则直线AB的一个方向向量为$\overrightarrow{m}$=（1-k²，2k），
$\overrightarrow{FC}$=（-p，$\frac{p（1-{k}^{2}）}{2k}$）=$\frac{p}{2k}$（-2k，1-k²），
∴$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{m}$=0，
∴C在AB上的射影为定点F（$\frac{p}{2}$，0）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查根与系数的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．