Question

8．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考数据：若ξ～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （I）计算平均身高用组中值×频率，即可得到结论；
（II）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数；
根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．

解答 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为$\overline{x}$=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，
∴高于全市的平均值170.5；（4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，
∴人数为0.2×50=10，
即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人；…（6分）
（Ⅲ）∵P（170.5-3×4＜ξ≤170.5+3×4）=0.9974，
∴P（ξ≥182.5）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013，
∴0.0013×100 000=130，
全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；
∴随机变量ξ可取0，1，2，于是
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=，
∴Eξ=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{5}{9}$+2×$\frac{2}{9}$=1．…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的期望与方差的计算问题，属于中档题．