Question

18．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD=2，∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，使得平面A₁BE⊥平面BCDE（如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥CE；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面A₁CE所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱A₁C上是否存在点P，使得BP∥平面A₁OF？若存在，求出$\frac{{{A_1}P}}{{{A_1}C}}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证明A₁O⊥CE，只需推知A₁O⊥平面BCDE即可；
（Ⅱ）根据直线与平面垂直的性质推知OA₁，OB，OC两两垂直．所以以O为原点，OB，OC，OA₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2）．结合平面A₁CE的一个法向量和直线与平面所成角的正弦求法解答即可；
（Ⅲ）利用假设法进行解答：如图3，假设在侧棱A₁C上存在点P，使得BP∥平面A₁OF．设$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}C}$，λ∈[0，1]．由菱形BCDE的性质得到CE⊥BD，结合（Ⅰ）可知：CE⊥平面A₁OF．故$\overrightarrow{CE}=（-1，-\sqrt{3}，0）$为平面A₁OF的一个法向量．据此进行解答．

解答 解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD中，
∵BC∥AD，$BC=\frac{1}{2}AD=2$，∠A=60°，E为AD中点，
∴△ABE为等边三角形．
如图2，∵O为BE的中点，
∴A₁O⊥BE．
又∵平面A₁BE⊥平面BCDE，且平面A₁BE∩平面BCDE=BE，
所以A₁O⊥平面BCDE，所以A₁O⊥CE；
（Ⅱ）如图2，连结OC，由已知得CB=CE，又O为BE的中点，
∴OC⊥BE．
由（Ⅰ）知A₁O⊥平面BCDE，
∴A₁O⊥BE，A₁O⊥OC，
∴OA₁，OB，OC两两垂直．
以O为原点，OB，OC，OA₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2）．
∵BC=2，易知$O{A_1}=OC=\sqrt{3}$．
∴${A_1}（0，0，\sqrt{3}），B（1，0，0），C（0，\sqrt{3}，0），E（-1，0，0）$，
∴$\overrightarrow{{A_1}B}=（1，0，-\sqrt{3}），\overrightarrow{{A_1}C}=（0，\sqrt{3}，-\sqrt{3}），\overrightarrow{{A_1}E}=（-1，0，-\sqrt{3}）$．
设平面A₁CE的一个法向量为n=（x，y，z），
由$\left\{{\begin{array}{l}{n•\overrightarrow{{A_1}C}=0}\\{n•\overrightarrow{{A_1}E}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0\\-x-\sqrt{3}z=0.\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}y-z=0\\ x+\sqrt{3}z=0.\end{array}\right.$
取z=1，得$n=（-\sqrt{3}，1，1）$．
设直线A₁B与平面A₁CE所成角为θ，
则$sinθ=|{cos?\overrightarrow{{A_1}B}，n＞}|=|{\frac{{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}}{{2×\sqrt{5}}}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
所以直线A₁B与平面A₁CE所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$． 
（Ⅲ）如图3，假设在侧棱A₁C上存在点P，使得BP∥平面A₁OF．
设$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}C}$，λ∈[0，1]．
∵$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{B{A_1}}+\overrightarrow{{A_1}P}=\overrightarrow{B{A_1}}+λ\overrightarrow{{A_1}C}$，
∴$\overrightarrow{BP}=（-1，0，\sqrt{3}）+λ（0，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）=（-1，\sqrt{3}λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$．
易证四边形BCDE为菱形，且CE⊥BD，
又由（Ⅰ）可知，A₁O⊥CE，所以CE⊥平面A₁OF．
所以$\overrightarrow{CE}=（-1，-\sqrt{3}，0）$为平面A₁OF的一个法向量．
由$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CE}=（-1，\sqrt{3}λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）•（-1，-\sqrt{3}，0）=1-3λ=0$，得$λ=\frac{1}{3}∈[0，1]$．
所以侧棱A₁C上存在点P，使得BP∥平面A₁OF，且$\frac{{{A_1}P}}{{{A_1}C}}=\frac{1}{3}$．

点评 本题综合考查了直线与平面平行、垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间中直线与直线之间的位置关系．难度较大，需要熟练掌握空间直角坐标系的建立与应用．