Question

18．求证：对任意x∈R，sinx，cos2x，1+sinx这3个函数的值至少有一个不大于$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 利用反证法，假设结论不成立，由假设出发，经过推理证明，得出矛盾，由此证明结论成立．

解答 证明：假设对任意x∈R，sinx，cos2x，1+sinx这3个函数的值都大于$\frac{5}{6}$，则
sinx＞$\frac{5}{6}$，cos2x＞$\frac{5}{6}$，1+sinx＞$\frac{5}{6}$；
∴sinx+cos2x+（1+sinx）＞3×$\frac{5}{6}$，
化简得-2sin²x+2sinx-$\frac{1}{2}$＞0，
即（2sinx-1）²＜0，这显然不成立；
所以假设错误，
即得：“对任意x∈R，sinx，cos2x，1+sinx这3个函数的值至少有一个不大于$\frac{5}{6}$”成立．

点评 本题考查了反证法证明命题成立的应用问题，是基础题目．